若有四种不同的剪法，求AP长的取值范围

若有四种不同的剪法，求AP长的取值范围

尹老师

如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　　．

分析与解答：

剪法（1），如图1所示。

PD∥CB, 则△PAD∽△CAB,

0<AP<4（因为当点P与点A、C重合时，不存在剪法）

剪法（2），如图2所示。

PD∥AB, 则△CPD∽△CAB,

0<AP<4（因为当点P与点A、C重合时，不存在剪法）

剪法（3），如图3所示。

构造以∠A为公共角，∠PAD＝∠BAC，则△PAD∽△BAC,

0<AP≤4（因为当点P与点A重合时，不存在剪法）

剪法（4），如图4所示。【难点所在】

当点D向右运动与点B重合时，得到下图。

构造∠C为公共角，∠PCB＝∠BCA，则△PCB∽△BCA

当点D落在线段CB 上时，PD∥P´B，则△PCD∽△BCA

综上所述，如图4（3）所示，当AP≤AP´<AC时，存在4种剪法。

结论：如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是：3≤AP<4